Ardışık Sayılar ve Toplam Formülleri — KPSS Matematik Konu Anlatımı

Ardışık Sayı Kavramı

Ardışık sayılar, aralarındaki fark sabit olan ve belirli bir kurala göre birbirini izleyen sayı dizileridir. Günlük hayatta farkında olmadan sürekli kullanırız: bir binanın kat numaraları, bir kitabın sayfa numaraları, ayın günleri hep ardışık dizilerdir. Matematikte bu dizilerin en değerli tarafı, tek tek toplamaya gerek kalmadan toplamlarının bir formülle bulunabilmesidir. KPSS'de bu konudan gelen soruların neredeyse tamamı, bu formülleri bilip bilmediğinizi ölçer; formülü bilen adayın soruyu çözmesi otuz saniye, bilmeyenin ise ya çok uzun sürer ya da hiç çözemez.

Ardışık sayıları cebirsel olarak göstermenin iki yolu vardır ve hangisini seçtiğiniz işlemin uzunluğunu doğrudan etkiler:

• İlk terime a demek: a, a+r, a+2r, a+3r, … → sondan terim aramak kolaylaşır.
• Ortadaki terime n demek: n−r, n, n+r → toplam alırken uçlar birbirini götürür.

Neden Formül Kullanırız? — Formülün Mantığı

İlk n doğal sayının toplamı formülünün nereden geldiğini anlamak, formülü ezberlemekten çok daha kalıcıdır. 1'den 100'e kadar olan sayıları toplamak istediğimizi düşünelim. Sayıları baştan ve sondan eşleştirelim:

• 1 + 100 = 101
• 2 + 99 = 101
• 3 + 98 = 101
• … her eşleşmenin toplamı 101'dir.
• 100 sayı olduğuna göre 50 tane böyle eşleşme vardır.
• Toplam = 50 · 101 = 5050.

İşte n·(n+1)/2 formülü tam olarak bunu yapar: n/2 tane eşleşme ve her eşleşmenin toplamı (n+1). Bu mantığı bir kez kavradıktan sonra, formülü unutsanız bile soruyu baştan-sondan eşleştirme yöntemiyle çözebilirsiniz. Aynı mantık bütün ardışık dizilerde geçerlidir ve genel toplam formülünün de temelidir.

Temel Toplam Formülleri

Tek sayılar toplamının n² çıkması ilk bakışta şaşırtıcıdır ama görsel bir açıklaması vardır: 1, 3, 5, 7 sayılarını kare şeklinde dizerseniz her seferinde bir öncekinin etrafına bir “L” şeridi eklemiş olursunuz ve sonuç hep tam kare çıkar. 1 = 1², 1+3 = 4 = 2², 1+3+5 = 9 = 3², 1+3+5+7 = 16 = 4². Bu düzen, formülü hatırlamanın en kolay yoludur.

Genel Ardışık Toplam — Aritmetik Dizi

Yukarıdaki özel formüller 1'den başlayan diziler içindir. Soru “17'den 63'e kadar” gibi herhangi bir yerden başlıyorsa iki adımlı genel yöntemi kullanırız. Bu yöntem bütün ardışık dizilerde çalışır ve aslında yukarıdaki formüllerin hepsini kapsar.

Toplam formülünün mantığı, yukarıda anlattığımız baştan-sondan eşleştirmenin aynısıdır: (ilk + son)/2 aslında dizinin ortalamasıdır, n ise terim sayısıdır. Ortalama ile terim sayısını çarpınca toplam bulunur — bu, her ortalama probleminde kullandığımız aynı mantıktır.

Ardışık Sayılarda Aritmetik Ortalama

Ardışık sayılarda ortalama hesaplamak için bütün sayıları toplayıp bölmeye gerek yoktur; yalnızca ilk ve son terime bakmak yeterlidir. Bunun sebebi, ardışık bir dizinin simetrik olmasıdır: baştan kaçıncı terimse sondan da o kadar uzaktaki terimle eşleşir ve her eşleşmenin ortalaması aynıdır.

• Terim sayısı TEK ise ortalama, tam ortadaki terime eşittir ve dizinin içinde vardır.
• Terim sayısı ÇİFT ise ortalama, ortadaki iki terimin ortasıdır ve dizide bulunmayabilir.
• Örnek (tek): 4, 6, 8 → ortalama 6, dizide vardır.
• Örnek (çift): 4, 6, 8, 10 → ortalama 7, dizide yoktur.

Ardışık Sayıların Diğer Özellikleri

• Ardışık n tane tam sayının toplamı, n TEK ise ortadaki terimin n katıdır ve daima n'e tam bölünür.
• Ardışık n tane tam sayının toplamı, n ÇİFT ise n'e tam bölünmez (yarım kalan verir).
• Ardışık iki tam sayı daima aralarında asaldır; EBOB'ları 1'dir.
• Ardışık iki çift sayının EBOB'u her zaman 2, ardışık iki tek sayının EBOB'u ise her zaman 1'dir.
• Ardışık n tane tam sayının çarpımı, n! sayısına tam bölünür.
• Ardışık iki tam sayının çarpımı daima çifttir; ardışık üç tam sayının çarpımı daima 6'ya bölünür.
• Ardışık tam sayıların kareleri arasındaki fark, o iki sayının toplamına eşittir: 8²−7² = 8+7 = 15.

Çözümlü Örnekler