Asal Sayılar ve Aralarında Asal Sayılar — KPSS Matematik Konu Anlatımı

Asal Sayı Kavramı

Asal sayılar, sayılar dünyasının yapı taşlarıdır. Nasıl ki maddenin daha küçük parçalara ayrılamayan atomları varsa, sayıların da daha küçük çarpanlara ayrılamayan “atomları” vardır ve bunlara asal sayılar denir. 1'den büyük her sayı, asal sayıların çarpımı biçiminde yazılabilir; üstelik bu yazılış tek türlüdür. Bu yüzden asal sayıları anlamak, bölünebilme, EBOB-EKOK, bölen sayısı ve kesir sadeleştirme konularının tamamının önkoşuludur. KPSS'de bu konu hem doğrudan sorulur hem de başka soruların ilk adımında karşınıza çıkar.

🔑 Asal sayı: 1'den büyük olan ve 1 ile kendisinden başka pozitif tam böleni bulunmayan doğal sayılardır. Bir başka deyişle, tam olarak iki tane pozitif böleni vardır: 1 ve kendisi.

Tanımdaki “tam olarak iki böleni vardır” ifadesi, tanımın en kullanışlı hâlidir; çünkü hem 1'i hem de bileşik sayıları tek hamlede dışarıda bırakır. 1 sayısının yalnızca bir böleni vardır (kendisi), dolayısıyla asal değildir. 6 sayısının ise dört böleni vardır (1, 2, 3, 6), o da asal değildir.

100'e kadar olan asal sayılar şunlardır — bunları tanıyacak kadar bilmek büyük zaman kazandırır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Toplam 25 tanedir.

⚠️ Önemli: 1 asal sayı değildir. Bunun sebebi keyfi bir tercih değil, aritmetiğin temel teoremini korumaktır: eğer 1 asal sayılsaydı, 12 sayısını 2²·3 olarak da 1·2²·3 olarak da 1·1·2²·3 olarak da yazabilirdik ve “tek türlü çarpanlara ayrılma” özelliği bozulurdu. Ayrıca 0 asal değildir (sonsuz böleni vardır) ve negatif sayılar asal değildir (tanım gereği asallık pozitif tam sayılar için tanımlıdır).

⚠️ Önemli: 2 sayısı tek çift asal sayıdır. Bu ifade bir kelime oyunu gibi görünse de tam olarak doğrudur: 2, çift olan yegâne asal sayıdır. Sebebi açıktır — 2'den büyük her çift sayı 2'ye tam bölünür, dolayısıyla en az üç böleni olur (1, 2, kendisi) ve asal olamaz. Bu yüzden 2 dışındaki bütün asal sayılar tektir. Ancak bunun tersi doğru değildir: her tek sayı asal değildir (9, 15, 21 gibi).

Bir Sayının Asal Olup Olmadığını Anlama

Bir sayının asal olup olmadığını sınamak için bütün sayılara bölmeyi denemek gerekmez. Çok daha kısa bir yol vardır ve mantığı şudur: eğer n sayısı a·b biçiminde çarpanlarına ayrılıyorsa, bu iki çarpandan biri mutlaka √n değerinden küçük ya da ona eşittir. Çünkü ikisi birden √n'den büyük olsaydı çarpımları n'i aşardı. Dolayısıyla √n'e kadar bakmak yeterlidir.

📐 Asallık sınaması

n sayısı için √n değerinden küçük veya ona eşit

hiçbir ASAL sayı n'i tam bölmüyorsa, n asaldır.

Yöntemi adım adım uygulayalım:

Sayının yaklaşık karekökünü bulun.
Karekökten küçük veya eşit asal sayıları sırayla listeleyin: 2, 3, 5, 7, 11, 13…
Sayıyı bu asallara bölmeyi deneyin.
Hiçbiri tam bölmüyorsa sayı asaldır; biri bile bölüyorsa asal değildir.

97 asal mı? √97 ≈ 9,8 → 2, 3, 5, 7'ye bakılır. 97 tek (2'ye bölünmez), rakamları toplamı 16 (3'e bölünmez), son rakamı 0 ya da 5 değil (5'e bölünmez), 97÷7 = 13,857… (bölünmez) → 97 ASALDIR.
91 asal mı? √91 ≈ 9,5 → 2, 3, 5, 7'ye bakılır. 91 ÷ 7 = 13 → tam bölünüyor. 91 = 7·13 → ASAL DEĞİLDİR.
143 asal mı? √143 ≈ 11,9 → 2, 3, 5, 7, 11'e bakılır. 143 ÷ 11 = 13 → 143 = 11·13 → ASAL DEĞİLDİR.

💡 Bilgi: Sınavda en çok tuzağa düşülen sayılar, ilk bakışta asal görünen ama olmayan sayılardır. Bunları ezberlemek doğrudan puan kazandırır: 51 = 3·17 , 57 = 3·19 , 87 = 3·29 , 91 = 7·13 , 111 = 3·37 , 119 = 7·17 , 133 = 7·19 , 143 = 11·13 , 187 = 11·17. Bunların hepsi tek sayıdır ve asal sanılır.

💡 Bilgi: Pratik ipucu: rakamları toplamı 3'ün katı olan hiçbir sayı asal olamaz (3 hariç). 51 → 5+1 = 6, 57 → 5+7 = 12, 87 → 8+7 = 15. Üçü de 3'ün katı, dolayısıyla üçü de 3'e bölünür ve asal değildir. Bu tek kontrol, yukarıdaki tuzak sayıların yarısını eler.

Aralarında Asal Sayılar

🔑 Aralarında asal: 1'den başka ortak pozitif böleni bulunmayan iki (veya daha çok) tam sayıdır. Bir başka deyişle EBOB'ları 1'dir.

Bu kavram, asal olmakla karıştırılmamalıdır ve aradaki fark kritiktir: aralarında asal olmak sayıların kendi asallığıyla ilgili değildir, sadece ortak çarpanlarının olmamasıyla ilgilidir. İki sayı da bileşik olabilir ama yine de aralarında asal olabilirler.

8 ve 15 → 8 = 2³, 15 = 3·5. Ortak asal çarpanları yok → aralarında asaldır. (İkisi de asal değil!)
6 ve 9 → 6 = 2·3, 9 = 3². Her ikisinde de 3 var → aralarında asal DEĞİLDİR.
7 ve 13 → ikisi de asal ve farklı → aralarında asaldır.
5 ve 25 → 25 = 5². Ortak çarpan 5 → aralarında asal DEĞİLDİR (biri asal olsa bile).

Aralarında asallıkla ilgili kesin kurallar:

Ardışık iki tam sayı DAİMA aralarında asaldır. (Ortak bölenleri farkı olan 1'i de bölmek zorundadır.)
Farklı iki asal sayı daima aralarında asaldır.
1 sayısı her sayı ile aralarında asaldır.
Ardışık iki TEK sayı daima aralarında asaldır: 7 ve 9 gibi.
Ardışık iki ÇİFT sayının ortak böleni en az 2'dir; aralarında asal olamazlar.
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, çarpımlarına eşittir: EKOK(8,15) = 120 = 8·15.

⚠️ Önemli: Bir kesir en sade biçimdeyse, payı ile paydası aralarında asaldır. Bu çıkarım oran-orantı ve kesir sorularında sürekli kullanılır: “a/b en sade kesirdir” bilgisi size EBOB(a,b) = 1 demektir. Tersi de geçerlidir: aralarında asal iki sayıyla kurulan kesir zaten sadeleşmez.

Asal Çarpanlara Ayırma

1'den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak ve çarpanların sırası dışında tek bir biçimde yazılabilir. Buna aritmetiğin temel teoremi denir. Bu teorem, sayılar teorisinin bel kemiğidir ve bölen sayısı, EBOB, EKOK gibi bütün hesapların dayanağıdır.

Pratikte çarpanlara ayırma, sayıyı en küçük asaldan başlayarak sırayla bölmekle yapılır: önce 2'ye bölünebildiği kadar bölünür, sonra 3'e, sonra 5'e ve böyle devam eder. Bölme işlemi 1'e ulaşınca durur.

📐 Asal çarpanlara ayırma gösterimi

360 = 2 · 180 = 2 · 2 · 90 = 2 · 2 · 2 · 45 = 2³ · 3² · 5

Genel biçim: N = p₁^a · p₂^b · p₃^c · …

💡 Bilgi: Ayırma işlemini kısaltmak için sayıyı tanıdık parçalara bölmek serbesttir: 600 = 6 · 100 dersek, 6 = 2·3 ve 100 = 2²·5² olduğundan 600 = 2³·3·5² sonucuna tek adımda ulaşırız. Mutlaka en küçük asaldan başlamak zorunda değilsiniz; sonuç aynı çıkar (teoremin garantisi budur).

Pozitif Bölen Sayısı

Bir sayının kaç tane böleni olduğunu bulmak için bölenleri tek tek yazmak gerekmez. Mantığı şudur: N = 2³·3² ise, bölenlerini oluştururken 2'yi 0, 1, 2 veya 3 kez (4 seçenek), 3'ü ise 0, 1 veya 2 kez (3 seçenek) kullanabiliriz. Her seçim kombinasyonu farklı bir böleni verir → 4·3 = 12 bölen.

📐 Bölen sayısı

N = p₁^a · p₂^b · p₃^c ise

Pozitif bölen sayısı = (a+1) · (b+1) · (c+1) · …

Tam sayı bölen sayısı = 2 · (pozitif bölen sayısı)

Üslere birer eklenmesinin sebebi, her asal için üssü 0 olarak da seçebilme ihtimalidir; üs 0 seçildiğinde o asal çarpan bölende hiç yer almaz. Tam sayı bölenleri sorulduğunda sonuç ikiyle çarpılır çünkü her pozitif bölenin bir de negatifi vardır.

⚠️ Önemli: En sık yapılan hata, üsleri artırmadan doğrudan çarpmaktır. 360 = 2³·3²·5¹ için bölen sayısı 3·2·1 = 6 değil, (3+1)·(2+1)·(1+1) = 24'tür. Üsleri birer artırmayı unutmayın.

Bölenlerin Toplamı ve Çarpımı

📐 Bölenler toplamı ve çarpımı

Bölenler toplamı = (p₁^(a+1) − 1)/(p₁ − 1) · (p₂^(b+1) − 1)/(p₂ − 1) · …

Bölenler çarpımı = N ^ (bölen sayısı / 2)

Bölenler çarpımı formülünün mantığı zariftir: bölenleri küçükten büyüğe ve büyükten küçüğe eşleştirdiğinizde her çiftin çarpımı N'e eşittir. 36 için: 1·36 = 36, 2·18 = 36, 3·12 = 36, 4·9 = 36, 6·6 = 36. Dokuz bölen olduğu için 36^(9/2) çıkar.

Asal ve Asal Olmayan Bölen Sayısı

Asal bölen sayısı = çarpanlara ayrılmış hâldeki FARKLI asal sayı adedidir. 360 = 2³·3²·5 için 3 tanedir (2, 3, 5).
Asal olmayan bölen sayısı = Toplam bölen sayısı − asal bölen sayısı − 1.

⚠️ Önemli: Formüldeki −1 terimi 1 sayısı içindir ve unutulmaması gereken bir ayrıntıdır. 1 sayısı her sayının bölenidir ama ne asaldır ne de asal olmayan bir bölen sayılır; bu yüzden ayrıca çıkarılır. Bu tek eksik, cevabı bir birim kaydırır ve genellikle şıklarda bu yanlış değer de bulunur.

📌 KPSS'de sık çıkan: Bölen sayısı soruları neredeyse her yıl karşımıza çıkar ve çözüm sırası hep aynıdır: (1) Sayıyı asal çarpanlarına ayır → (2) Üsleri birer artır → (3) Çarp. Sorunun devamında “asal olmayan”, “çift olan”, “tek olan” gibi bir filtre varsa, önce toplamı bulup sonra filtreyi uygulamak en güvenli yoldur.

💡 Bilgi: Ek bilgi — çift ve tek bölen sayısı: N = 2^a · (tek kısım) ise, tek bölen sayısı yalnızca tek kısmın bölen sayısıdır (2'nin üssü 0 alınır). Çift bölen sayısı = toplam bölen sayısı − tek bölen sayısı. 360 = 2³·3²·5 için tek bölenler 3²·5 kısmından gelir: (2+1)(1+1) = 6 tane; çift bölenler ise 24 − 6 = 18 tanedir.

Aranan	Formül	360 = 2³·3²·5¹ için
Pozitif bölen sayısı	(a+1)(b+1)(c+1)	4·3·2 = 24
Tam sayı bölen sayısı	2 × pozitif	48
Asal bölen sayısı	farklı asal adedi	3 (2, 3, 5)
Asal olmayan bölen	toplam − asal − 1	24 − 3 − 1 = 20
Tek bölen sayısı	tek kısmın bölen sayısı	(2+1)(1+1) = 6
Çift bölen sayısı	toplam − tek	24 − 6 = 18

Çözümlü Örnekler

✏️ Çözümlü ÖrnekKolay

Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi asal sayıdır? 1 , 2 , 9 , 17 , 51 , 91 , 97

Çözüm:

1 → yalnızca bir böleni vardır, tanım gereği asal DEĞİLDİR. ✘
2 → bölenleri 1 ve 2'dir, asaldır (tek çift asal sayı). ✔
9 → 9 = 3·3, üç böleni vardır (1, 3, 9), asal değildir. ✘
17 → √17 ≈ 4,1 → 2 ve 3'e bakılır; ikisi de bölmez. Asaldır. ✔
51 → rakamları toplamı 5+1 = 6, 3'ün katı → 51 = 3·17. Asal değildir. ✘
91 → √91 ≈ 9,5 → 7 ile deneyelim: 91 = 7·13. Asal değildir. ✘
97 → √97 ≈ 9,8 → 2, 3, 5, 7'nin hiçbiri bölmez. Asaldır. ✔
Asal olanlar: 2, 17 ve 97 → 3 tane.

Sonuç: 3

Yöntem notu: 1'i asal saymak ve 51 ile 91'i asal sanmak bu sorunun üç tuzağıdır. Tek sayı olmak asal olmak demek değildir.

✏️ Çözümlü ÖrnekKolay

72 sayısını asal çarpanlarına ayırınız ve kaç tane farklı asal böleni olduğunu bulunuz.

Çözüm:

72'yi en küçük asaldan başlayarak bölelim: 72 ÷ 2 = 36.
36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9. Üç kez 2'ye böldük.
9 artık 2'ye bölünmüyor; 3'e geçelim: 9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1. İki kez 3'e böldük.
Sonuç: 72 = 2³ · 3².
Farklı asal bölenler: 2 ve 3 → 2 tanedir.

Sonuç: 72 = 2³·3² , 2 farklı asal bölen

Yöntem notu: Kısayol: 72 = 8·9 dersek 8 = 2³ ve 9 = 3² olduğundan sonuca tek adımda ulaşılır. Tanıdık çarpanları kullanmak serbesttir.

✏️ Çözümlü ÖrnekOrta

600 sayısının kaç tane pozitif tam böleni vardır?

Çözüm:

Önce asal çarpanlarına ayıralım: 600 = 6 · 100.
6 = 2·3 ve 100 = 2²·5² olduğundan: 600 = 2·3·2²·5².
2'nin üslerini toplayalım: 600 = 2³ · 3¹ · 5².
Bölen sayısı formülü: üsleri birer artırıp çarparız.
(3+1) · (1+1) · (2+1) = 4 · 2 · 3.
= 24.

Sonuç: 24

Yöntem notu: Sayıyı tanıdık parçalara bölmek (600 = 6·100) işlemi hızlandırır. Aynı asalın üslerini toplamayı unutmayın — 2 hem 6'dan hem 100'den geliyordu.

✏️ Çözümlü ÖrnekOrta

540 sayısının asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısı kaçtır?

Çözüm:

540 = 4 · 135 = 2² · 135. Şimdi 135'i ayıralım: 135 = 27 · 5 = 3³ · 5.
Birleştirelim: 540 = 2² · 3³ · 5¹.
Toplam pozitif bölen sayısı: (2+1)·(3+1)·(1+1) = 3·4·2 = 24.
Farklı asal bölenler: 2, 3, 5 → 3 tane. Bunlar asal bölen oldukları için çıkarılır.
Bölenler arasında 1 de vardır; 1 ne asaldır ne asal olmayan sayılır, o da çıkarılır.
Asal olmayan bölen sayısı = 24 − 3 − 1 = 20.

Sonuç: 20

Yöntem notu: “Asal olmayan bölen” sorulduğunda 1'i çıkarmayı unutmayın. Şıklarda genellikle 21 (1'i çıkarmayanlar için) ve 24 (hiç filtrelemeyenler için) de bulunur.

✏️ Çözümlü ÖrnekZor

A = 2³ · 3ⁿ · 5 sayısının 32 tane pozitif tam böleni olduğuna göre n kaçtır?

Çözüm:

Bölen sayısı formülünü kuralım: üsler 3, n ve 1'dir.
Bölen sayısı = (3+1) · (n+1) · (1+1) = 4 · (n+1) · 2.
Sadeleştirelim: 8 · (n+1).
Bu sayının 32'ye eşit olduğu veriliyor: 8·(n+1) = 32.
(n+1) = 32 ÷ 8 = 4.
n = 3.
Kontrol: A = 2³·3³·5 → (4)(4)(2) = 32 ✔

Sonuç: 3

Yöntem notu: Bilinmeyen üs sorularında formülü kurup denklem çözmek tek yoldur. Bilinen üsleri önce çarpıp sadeleştirmek (4·2 = 8) denklemi basitleştirir. Sonucu mutlaka yerine koyarak kontrol edin.

✏️ Çözümlü ÖrnekZor

72 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 4 ile tam bölünür?

Çözüm:

72 = 2³ · 3² biçimindedir; toplam bölen sayısı (3+1)(2+1) = 12'dir.
Bir bölenin 4'e tam bölünmesi için içinde EN AZ 2² çarpanı bulunmalıdır.
Bölenler 2^x · 3^y biçimindedir; burada x ∈ {0,1,2,3} ve y ∈ {0,1,2}.
4'e bölünme koşulu: x ≥ 2 olmalı → x için yalnızca 2 ve 3 seçilebilir → 2 seçenek.
y için kısıt yoktur: 0, 1, 2 → 3 seçenek.
Uygun bölen sayısı = 2 · 3 = 6.
Kontrol (bu bölenleri yazalım): 4, 12, 36, 8, 24, 72 → gerçekten 6 tanedir. ✔

Sonuç: 6

Yöntem notu: “Bölenlerinden kaçı k'ye bölünür” tipi sorularda, k'nin asal çarpanlarındaki üsleri ALT SINIR olarak alın ve kalan seçenek sayısını çarpın. Burada 4 = 2² olduğu için 2'nin üssü en az 2 olmak zorundaydı; 4 seçenekten 2'si elendi.